Hubungan bilangan rasional dengan irasional

Kita akan membuktikan bahwa bilangan rasional selain nol x bilangan irasional = bilangan irasional dengan menggunakan metode kontadiksi (proof by contradiction).

Ambil sebarang bilangan rasional r selain nol , yang dari definisi bilangan rasional diperoleh r=a/b dengan a dan b adalah bilangan bulat, a\neq 0, b\neq 0. Dan ambil sebarang bilangan irasional s.

Kita asumsikan bahwa \left ( r\times s \right ) adalah bilangan rasional, artinya ada p dan q bilangan bulat dengan q\neq 0, sehingga berlaku \left ( r\times s \right )=p/q .

Perhatikan:

\left ( r\times s \right )=p/q \Rightarrow \left ( \frac{a}{b}\times s \right )=p/q

\Rightarrow s=( p/q)\times (b/a)

\Rightarrow s=\left ( pb/qa \right )

Dari hal tersebut terlihat bahwa bilangan s dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan dengan pembilang bilangan bulat dan penyebut bilangan bulat tak nol, atau dengan kata lain s bilangan rasional. Padahal diawal kita punya bilangan s adalah sebarang bilangan irasional, terjadi kontadiksi maka pengasumsian kita salah.

Karena asumsi kita salah, berarti terbukti hasil kali sebuah bilangan rasional selain nol dengan sebuah bilangan tak rasional adalah tak rasional.

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s

%d blogger menyukai ini: